MVP Matrix

MVP 矩阵即 Model（模型）、View（观察）、Projection（投影）矩阵。

Model

模型矩阵描述的是 3D Point 的仿射变换，包含 Scale（缩放）、Rotate（旋转）、Translate（平移）。

可以按照下面的方式表示： M=Scale×Rotate×Translate M = Scale \times Rotate \times Translate

  • 最后进行 Translation 是为了保证前面的操作参考坐标轴不会变化。
  • OpenGL 是左乘的，因此编程时计算模型矩阵需要按照 Translate、Rotate、Scale 的顺序进行。

写的具体一点如下： [x^y^z^0]=[abctxdeftyghitz0001]×[xyz1] \begin{bmatrix} \hat{x}\\ \hat{y}\\ \hat{z}\\ 0\\ \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} a & b & c & t_x\\ d & e & f & t_y\\ g & h & i & t_z\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\times \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \\ 1 \\ \end{bmatrix} 之所以用 4 × 4 的矩阵来表示，是为了统一用矩阵乘法。如果用 3 × 3 的矩阵，会导致计算 Translate 变化时，只能用 3 × 3 的矩阵矩阵加法来表示。并且这样可以用来区分点（Point）和向量（Vector）。

  • 3D Point [x,y,z,1]T[x,y,z,1]^T (w = 1，Translate OK)
  • 3D Vector [x,y,z,0]T[x,y,z,0]^T(w = 0，No Translate)
  • 3D Point + 3D Point（w = 2，Middle Point）
  • 3D Point - 3D Point （w = 0，3D Vector）
  • 3D Point + 3D Vector（w = 0，3D Point）
  • 3D Vector + 3D Vector（w = 0，3D Vector）

define [x,y,z,w]T(w≠0)[x,y,z,w]^T(w \neq 0) is the 3D Point [x/w,y/w,z/w,1]T[x/w,y/w,z/w,1]^T 。

这种定义叫做齐次坐标（Homogeneous coordinates）。

View

观察矩阵用于将模型投影到摄像机（Camera）上。

一般而言，定义观察矩阵（或者说摄像机状态）需要下面的一些参数：

  • Position：摄像机位置 P=[xp,yp,zp]TP = [x_p,y_p,z_p]^T
  • Up：摄像机上方 U=[xu,yu,zu]TU = [x_u,y_u,z_u]^T
  • LookAt：摄像机观察方向 L=[xl,yl,zl]TL = [x_l,y_l,z_l]^T
  • Right：摄像机右方 R=L×U=[xr,yr,zr]TR = L \times U = [x_r, y_r, z_r]^T

为了推导出实际的 View 矩阵（记为 VV），假设初始状态如下的 View 矩阵（记为 V0V_0）的参数如下：

  • P=[0,0,0]TP = [0,0,0]^T（原点）
  • U=[0,1,0]TU = [0,1,0]^T（正 Y 轴）
  • L=[0,0,−1]TL = [0,0,-1]^T（负 Z 轴）
  • R=[1,0,0]R = [1,0,0]（正 Z 轴）

注意，对于观察者而言，我们要感受到物体进行了平移旋转之类的操作，需要对 View 矩阵（摄像机）进行相反的操作。要得到实际 View 矩阵，需要进行逆变换V→V0V \rightarrow V_0，其操作具体如下：

  • Translate
    • P：[xp,yp,zp]T→[0,0,0]T[x_p,y_p,z_p]^T \rightarrow [0,0,0]^T
  • Rotate：
    • U：[xu,yu,zu]T→[0,1,0]T[x_u,y_u,z_u]^T \rightarrow [0,1,0]^T
    • L：[xl,yl,zl]T→[0,0,−1]T[x_l,y_l,z_l]^T \rightarrow [0,0,-1]^T
    • R：[xl,yl,zl]T×[xu,yu,zu]T=[xr,yr,zr]T→[1,0,0]T[x_l,y_l,z_l]^T \times [x_u,y_u,z_u]^T = [x_r, y_r, z_r]^T \rightarrow [1,0,0]^T

对于 Translate，容易得到 VT=[100−xp010−yp001−zp0001] V_T= \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & -x_p\\ 0 & 1 & 0 & -y_p\\ 0 & 0 & 1 & -z_p\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} 对于 Rotate，不方便直接计算，考虑逆向情况：

  • R：[xl,yl,zl]T×[xu,yu,zu]T=[xr,yr,zr]T→[1,0,0]T[x_l,y_l,z_l]^T \times [x_u,y_u,z_u]^T = [x_r, y_r, z_r]^T \rightarrow [1,0,0]^T（X 轴方向）
  • U：[xu,yu,zu]T→[0,1,0]T[x_u,y_u,z_u]^T \rightarrow [0,1,0]^T（Y 轴方向）
  • L：[−xl,−yl,−zl]T→[0,0,1]T[-x_l,-y_l,-z_l]^T \rightarrow [0,0,1]^T （Z 轴方向）

因此有： VR−1=[xrxu−xl0yryu−yl0zrzu−zl00001] V_R^{-1}= \begin{bmatrix} x_r & x_u & -x_l & 0\\ y_r & y_u & -y_l & 0\\ z_r & z_u & -z_l & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} 注意到旋转矩阵在实际中会使用正交矩阵，即： VR=(VR−1)−1=(VR−1)T=[xryrzr0xuyuzu0−xl−yl−zl00001] V_R = (V_R^{-1})^{-1} = (V_R^{-1})^{T}= \begin{bmatrix} x_r & y_r & z_r & 0\\ x_u & y_u & z_u & 0\\ -x_l & -y_l & -z_l & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} 因此实际的 View 矩阵为： V=VR×VT=[100−xp010−yp001−zp0001]×[xryrzr0xuyuzu0−xl−yl−zl00001] V = V_R \times V_T = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & -x_p\\ 0 & 1 & 0 & -y_p\\ 0 & 0 & 1 & -z_p\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} x_r & y_r & z_r & 0\\ x_u & y_u & z_u & 0\\ -x_l & -y_l & -z_l & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}

Projection

Projection （投影）矩阵一般分为 Orthographic Projection（正视投影）和 Perspective Projection （透视投影）。

Orthographic Projection

之前在 Games101 上看到闫令琪老师的定义感觉很清晰：

Map a cuboid [l,r]×[b,t]×[f,n][l,r] \times [b, t] \times [f, n] to the canonical cube [−1,1]3[-1, 1]^3。

  • 这里的是右手系，所以远平面 f 在前面（比如 OpenGL 中的前面一般认为是负 Z 轴，f < n）;

要完成正视投影，只需要两步即可：

  • Translate CentorPoint→[0,0,0]TCentor Point \rightarrow [0,0,0]^T
  • Scale [2,2,2]T[2,2,2]^T

可以很容易得到正视投影矩阵为： P=PO=[2r−l00002t−b00002n−f00001]×[100−r+l2010−t+b2001−n+f20001] P = P_O = \begin{bmatrix} \frac{2}{r-l} & 0 & 0 & 0\\ 0 & \frac{2}{t-b} & 0 & 0\\ 0 & 0 & \frac{2}{n-f} & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & -\frac{r+l}{2}\\ 0 & 1 & 0 & -\frac{t+b}{2}\\ 0 & 0 & 1 & -\frac{n+f}{2}\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} Perspective Projection

透视投影可以通过挤压远平面 f 来变成正交投影。

并且有下面的规定：

  • 近平面 n 上的点经过挤压后坐标不变。
  • 远平面 f 上的中心点挤压后坐标不变。
  • 远平面 f 上的点经过挤压后 z 坐标不变（z = f）。

对于某一点 [x,y,z]T[x,y,z]^T，经过变换后变为 [x′,y′,z′]T[x',y',z']^T。

明显有： y′=nzy y'= \frac{n}{z}y 类似有： x′=nzx x'= \frac{n}{z}x 在齐次坐标中，可以写出下面的式子（3D Point，w = 1）： [xyz1]⟶[nzxnzy?1]=[nxny?z] \begin{bmatrix} x\\ y\\ z\\ 1\\ \end{bmatrix} \longrightarrow \begin{bmatrix} \frac{n}{z}x\\ \frac{n}{z}y\\ ?\\ 1\\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} nx\\ ny\\ ?\\ z\\ \end{bmatrix} 记矩阵 PP→OP_{P\rightarrow O} 表示从透视矩阵转为正交矩阵的矩阵： PP→O×[xyz1]=[nxny?z] P_{P \rightarrow O} \times \begin{bmatrix} x\\ y\\ z\\ 1\\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} nx\\ ny\\ ?\\ z\\ \end{bmatrix} 由于： PP→O[1]⋅[xyz1]=nx P_{P \rightarrow O}[1] \cdot \begin{bmatrix} x\\ y\\ z\\ 1\\ \end{bmatrix} = nx 即： PP→O[1]=[n,0,0,0] P_{P \rightarrow O}[1] = [n, 0, 0, 0] 同理： PP→O[2]=[0,n,0,0] P_{P \rightarrow O}[2] = [0, n, 0, 0]

PP→O[4]=[0,0,1,0] P_{P \rightarrow O}[4] = [0, 0, 1, 0]

由于任何近平面 n 上的点坐标不变，因此： [xyn1]⟶[xyn1]=[nxnyn2n] \begin{bmatrix} x\\ y\\ n\\ 1\\ \end{bmatrix} \longrightarrow \begin{bmatrix} x\\ y\\ n\\ 1\\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} nx\\ ny\\ n^2\\ n\\ \end{bmatrix} 即： PP→O[3]⋅[xyn1]=n2 P_{P \rightarrow O}[3] \cdot \begin{bmatrix} x\\ y\\ n\\ 1\\ \end{bmatrix} = n^2 由于和 n2n^2 与 x、yx、y 无关，因此前两项必为 0： [0,0,a,b]⋅[xyn1]=n2 [0, 0, a, b] \cdot \begin{bmatrix} x\\ y\\ n\\ 1\\ \end{bmatrix} = n^2 化简有： an+b=n2 an + b = n^2 由于任何远平面 f 上的中心点 [0,0,f]T[0,0,f]^T 坐标不变，因此： [00f1]⟶[00f1]=[00f2f] \begin{bmatrix} 0\\ 0\\ f\\ 1\\ \end{bmatrix} \longrightarrow \begin{bmatrix} 0\\ 0\\ f\\ 1\\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0\\ 0\\ f^2\\ f\\ \end{bmatrix} 即： [0,0,a,b]⋅[00f1]=f2 [0, 0, a, b] \cdot \begin{bmatrix} 0\\ 0\\ f\\ 1\\ \end{bmatrix} = f^2 化简有： af+b=f2 af + b = f^2 联立解得： {a=n+fb=−nf \left\{\begin{matrix} a = n + f\\ b = -nf \end{matrix}\right. 因此： PP→O=[n0000n0000n+f−nf0010] P_{P \rightarrow O} = \begin{bmatrix} n & 0 & 0 & 0\\ 0 & n & 0 & 0\\ 0 & 0 & n + f & -nf\\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{bmatrix} 最终计算出透视投影矩阵为： PP=PO×PP→O=[2r−l00002t−b00002n−f00001]×[100−r+l2010−t+b2001−n+f20001]×[n0000n0000n+f−nf0010] P_P = P_O \times P_{P \rightarrow O} = \begin{bmatrix} \frac{2}{r-l} & 0 & 0 & 0\\ 0 & \frac{2}{t-b} & 0 & 0\\ 0 & 0 & \frac{2}{n-f} & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & -\frac{r+l}{2}\\ 0 & 1 & 0 & -\frac{t+b}{2}\\ 0 & 0 & 1 & -\frac{n+f}{2}\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} n & 0 & 0 & 0\\ 0 & n & 0 & 0\\ 0 & 0 & n + f & -nf\\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{bmatrix}